Recuerdas qué es? Expresión algebraica. Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas.


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1 Recuerdas qué es? Expresión algebraica Es una combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma Si a, b y c son tres números cualesquiera, se cumple que: a (b + c) = a b + a c Multiplicación de potencias El resultado de multiplicar potencias de igual base es una potencia cuya base es la misma y el exponente es la suma de los exponentes. a n a m = a m + n División de potencias El resultado de dividir potencias de igual base es una potencia cuya base es la misma y el exponente es la diferencia de los exponentes. a m a = n am n

2 5 EXPRESIONES ALGEBRAICAS El Álgebra es la rama de las Matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la Aritmética, las operaciones fundamentales del Álgebra son la adición, la sustracción, la multiplicación y la división. La Aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. La Aritmética sólo da casos particulares de esta relación, por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que = 5. El Álgebra, por el contrario, puede dar una generalización del tipo: a + b = c. El Álgebra se considera el idioma de las Matemáticas, y por ello ha ido evolucionando a lo largo del tiempo gracias al estudio de muchos matemáticos. Los objetivos de esta Unidad son: Expresar algebraicamente enunciados verbales simples. Dominar la jerarquía de operaciones aritméticas y aplicarla en operaciones con expresiones algebraicas.

3 5 EXPRESIONES WEB es/materiales_didacticos/ Interpretacion_expresiones_ algebraicas_d3/indice.htm Actividades interesantes para familiarizarse con el uso de letras como una generalización de los números, visualizando las operaciones algebraicas elementales. Además, encontraremos actividades interactivas para trabajar otros aspectos del tema: valores numéricos, identidades es/averroes/iesdiegogaitan/ departamentos/departamentos/ departamento_de_matemat/ recursos/algebraconpapas/ recurso/index.htm Página de José Antonio Ortega con actividades interactivas muy interesantes para trabajar todos los conceptos de la Unidad. CD En la pestaña Actividades/ Unidad, encontrarás la actividad Relación unidad 5, para repasar el lenguaje algebraico. ALGEBRAICAS. EL LENGUAJE ALGEBRAICO El Álgebra es la rama de las Matemáticas que se basa en el empleo de números y letras para representar relaciones aritméticas. Por ejemplo, para expresar el área de un rectángulo de lados a y b se tiene: b a Si a = 6 cm y b = 4 cm, el área es 6 4 = 4 cm. Área = lado lado A = a b Observa que hemos generalizado la expresión del cálculo del área de un rectángulo mediante letras. Cada letra representa un lado. Las expresiones algebraicas, o lenguaje algebraico, se utilizan para expresar una situación cualquiera o para generalizar propiedades matemáticas. Ejemplos: a) Si consideramos que x es la capacidad en litros de un embalse, expresamos el doble de esa capacidad como x y la mitad como x. b) El área de un círculo se expresa como π r, donde r representa el radio del círculo. El Álgebra es la rama de las Matemáticas que se basa en el empleo de números y letras para representar relaciones aritméticas. Una expresión algebraica es la combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas para expresar una situación cualquiera o para generalizar propiedades matemáticas. 8 Ejercicios Si en una librería, el precio de un libro es x euros y el de cada bolígrafo es 7 menos, expresa algebraicamente lo que cuestan: a) Cuatro libros. b) Diez bolígrafos. c) La mitad de lo que cuestan seis libros. d) Cinco libros más tres bolígrafos. e) Cinco libros con un descuento de 3. f) Dos bolígrafos y seis libros. g) Tres bolígrafos y dos libros. h) Seis libros y un bolígrafo. Si x es un número natural, escribe las expresiones algebraicas que representan: a) El doble de ese número. b) La tercera parte del mismo. c) Su cubo. d) Su anterior. e) Su posterior. f) Su triple más tres unidades. g) La mitad de su triple. h) El cuádruple más cuatro unidades. i) El doble de su posterior.

4 VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIóN ALGEBRAICA La siguiente expresión algebraica describe el supuesto gasto que puedo realizar en una frutería en función del número de kilos de tomates que compre y pidiendo la entrega a domicilio: Tomates /kg x +,9 /kg,3 /kg /kg,6 /kg Llamamos x a la cantidad de tomates que compro. La expresión algebraica asociada a esta situación es: x +. Al sustituir x por un número y efectuar operaciones se obtiene otro número, que se denomina valor numérico de la expresión algebraica. En el caso de que sean dos kilos, es decir, si x = : x + = + = 5. El valor numérico es 5. El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene calculando las operaciones aritméticas de dicha expresión sustituyendo las letras por números. Fíjate bien en los siguientes ejemplos: a) Si x =, el valor numérico de 3x x es: 3 = 8. b) Si el lado de un cuadrado es 3 cm, su área es A = l l = 3 3 = 9 cm. c) Si x =, el valor numérico de x es: ( ) = 4 = 8. Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene cuando se sustituyen las letras de la expresión por números. WEB materiales_didacticos/potencia/ index.htm es/materiales_didacticos/ Potencias_y_raices/potencias. htm Páginas con actividades para repasar las propiedades de las potencias, introduciéndolas con ejemplos para obtener la expresión algebraica. materiales_didacticos/enteros/ opcombin.htm Actividades para repasar la jerarquía de operaciones. Ejercicios 3 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se dan: a) x + y si x =, y = 3 b) xy 3 si x = 3, y = 4 c) (x) si x = d) a b a si a = 4, b = 6 e) 3 x + y si x = 3, y = 4 Halla la expresión algebraica que representa el área de la siguiente figura y calcula su valor numérico, sabiendo que las bases miden 5 cm y que la altura de ambos triángulos es 7 cm. b h h b 83

5 5 MONOMIOS 3 Y POLINOMIOS Las expresiones algebraicas que están formadas sólo por la multiplicación de números, letras o números y letras se llaman monomios. Por ejemplo, x y 4 Î x, no son monomios. Ten en cuenta En el monomio x y el coeficiente es, no 0. Definición En un polinomio, el término que no tiene parte literal se denomina término independiente. Un polinomio formado por dos términos se llama binomio. Si está formado por tres términos se llama trinomio. WEB es/materiales_didacticos/ Polinomios/monomios.htm Actividades interactivas para la clasificación y operaciones de monomios. modules.php?name=encyclope dia&op=list_content&eid= Página de Francisco Burzy que pretende llegar a ser un diccionario de las matemáticas que se ven en la Enseñanza Secundaria. El alumno puede investigar cuáles de las definiciones de este tema aparecen en este diccionario y completarlas. Son monomios: 3x, 4x, 7x y 3. En cada monomio hay una parte numérica que llamamos coeficiente, y una parte expresada con letras que se llama parte literal. Cada una de las letras de un monomio se denomina variable. La suma de los exponentes de las variables que forman la parte literal es el grado del monomio. Los monomios que tienen la misma parte literal se llaman monomios semejantes. Por ejemplo: En el monomio: 7x y 3 se tiene: Coeficiente: 7 Parte literal: x y 3 Grado: + 3 = 5 7x y 3 es semejante a x y 3. 7x y 3 no es semejante a 6x 3 y. Un polinomio es una expresión algebraica formada por sumas o restas de monomios no semejantes llamados términos. El grado de un polinomio es el mayor grado de los monomios que lo forman. Por ejemplo, el polinomio P(x)= 3x x + 5, tiene tres términos y su grado es. Un monomio es una expresión algebraica formada por la multiplicación de números, letras o números y letras. El coeficiente de un monomio es la parte numérica del mismo. La parte de un monomio expresada con letras se llama parte literal. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de la parte literal. Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. Un polinomio es una expresión algebraica formada por sumas o restas de monomios no semejantes llamados términos. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman. 84 Ejercicios 5 Señala cuántos términos hay en cada una de las siguientes expresiones algebraicas. En caso de ser polinomios, concreta de qué tipo son: a) 3mn b) 3y + xy c) 5 x + d) 4ab b + a e) 7x z + z + f) ya 6 Describe estas expresiones algebraicas (monomio, binomio, trinomio, etc.), e indica la parte literal, el coeficiente y el grado de cada término: a) 9a 3 b b) 4y z 3 5y c) 8z + y y 5 d) 3 4 m 4 e) 7a + 4b a b + f) x

6 4 OPERACIONES CON MONOMIOS Los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas. Es importante conocer cómo se realizan las operaciones con ellos. A SUMA Y RESTA DE MONOMIOS B Dos monomios sólo se pueden sumar o restar si tienen la misma parte literal, es decir, deben ser semejantes. Para obtener el resultado se suman o restan los coeficientes y se mantiene igual la parte literal. Ejemplos: 7x + x = 9x: «7 veces un número más veces ese mismo número es 9 veces ese mismo número, es decir, 9x». 0n + 3n n = n 5a + 3a a = 6a. 7x + y: esta suma de monomios no se puede realizar porque no tienen la misma parte literal, no son términos semejantes. Puede darse el caso de que los coeficientes sean fracciones. La suma entre los coeficientes tendrá que realizarse como una suma de fracciones. x x = 5 4 x = = 5 4 MULTIPLICACIóN Y DIVISIóN DE MONOMIOS Para multiplicar o dividir monomios no es necesario que las partes literales sean iguales. El resultado en estos casos siempre va a ser un monomio. La multiplicación se realiza de la siguiente manera:. Se multiplican entre sí los coeficientes teniendo en cuenta los signos de los mismos.. Para obtener la parte literal, se multiplican las partes literales de los monomios. Ejemplo a) x 4x 3 x = 4 x = 8x 6 b) a 5a 3 b = 5 a a a a b = 0a 4 b Reflexiona Fíjate bien en las partes literales: No es lo mismo 7x 3 y que 7x y 3 : 7x 3 y = 7 x x x y y 7x y 3 = 7 x x y y y Sí es lo mismo x y que y x por la propiedad conmutativa de la multiplicación. Ten en cuenta Si dentro de una suma o resta hay algún monomio no semejante, no se operará y quedará tal y como está en el resultado. y + 3y + x = 5y + x WEB es/materiales_didacticos/ Polinomios/monomios. htm#opmon Actividades para practicar las operaciones con monomios. Regla de los signos + + = + = + + = + = + : + = + : = + + : = : + = 85

7 5 WEB es.jsp?id=05 Paquete de actividades en Clic propuestas por Antonio Francisco Devesa Botella, Carmen Gutiérrez Vargas, Fernando López Juárez y Rosa Fargueta Calatayud para introducir el lenguaje algebraico y ejercitar las operaciones con monomios y polinomios. org/almacen/archivos/arch7- Polinomios%03.htm En la sección de recursos encontraremos interesantes enlaces relacionados con monomios y polinomios. Para realizar la división, los pasos a seguir son:. Se dividen entre sí los coeficientes teniendo en cuenta su signo.. Para obtener la parte literal, se dividen las partes literales de los monomios, teniendo en cuenta cómo se realizan las operaciones con potencias. Ejemplo a) a 3 : 6a = a3 6a = a 3 = a = a b) 0x 4 y 3 : ( )x y 3 = 0 x 4 y 3 3 = 5x y 0 = 5 x = 5x c) 4b3 b = b b b = b b = b b Dos monomios sólo se pueden sumar o restar si tienen la misma parte literal, es decir, deben ser semejantes. Para obtener el resultado se suman o restan los coeficientes y se mantiene igual la parte literal. Para multiplicar monomios, se multiplican entre sí los coeficientes teniendo en cuenta los signos, y la parte literal se obtiene multiplicando las partes literales de los monomios. Para dividir monomios, se dividen los coeficientes teniendo en cuenta su signo, y la parte literal se obtiene dividiendo las partes literales de los monomios. 86 Ejercicios 7 Halla el resultado de las siguientes operaciones con monomios: a) 5z + 6z + z b) 0x 7x + x c) 6yx + 4xy + yx d) n m + 3n m e) 3 4 x x + x f) a + 3a + 9ab 8 Realiza la multiplicación de los siguientes monomios: a) 5x 3x b) 3b b c) a a 5a d) 4y ( 4)y e) 4y y f) 6a 3 a 9 Indica cuáles de estas igualdades son correctas y cuáles son incorrectas. Razona tu respuesta: a) 3a + a = 4a b) 5x + x + x = 7x c) x + x = x d) n + 3n 5n = 0 e) 3zy + 5zy = 8yz f) 5x + x = 7x 3 0 Realiza la división de los siguientes monomios: a) 4a4 6a c) m 5m e) y 5 6y f) b) 4ab b d) 9x y 3x 6y 8 x 3x 3 y

8 5 OPERACIONES CON POLINOMIOS Realizar las operaciones con polinomios es muy sencillo si se domina el cálculo con monomios. A SUMA Y RESTA DE polinomios Para sumar polinomios, se suman entre sí los términos semejantes. 3a + a Recuerda No es 3a Sí es 4a Ejemplo 3 Si P(x) = 3x + 0x 7 y Q(x) = x 6x + 5 4ab + ab No es 4a b Sí es 5ab P(x) + Q(x) = (3x + 0x 7) + (x 6x + 5) 3x + 0x 7 x 6x + 5 P(x) + Q(x) = 5x + 4x 6ax + x No es 6ax No son monomios semejantes. No se pueden sumar. Para restar polinomios, los pasos a seguir son: Paso. Se ordenan los términos del polinomio de mayor a menor en función del grado. Paso. Restar es sumar el opuesto, luego se cambian los signos del polinomio sustraendo. Paso 3. Se suman los términos semejantes de los polinomios. Ejemplo 4 P(x) = 6x 3 + 5x 7x + 7 Q(x) = x 3 6x + 3x P(x) Q(x) = (6x 3 + 5x 7x + 7) (x 3 6x + 3x ) 6x 3 7x + 5x + 7 x 3 + 6x 3x + P(x) Q(x) = 4x 3 x + x + 9 WEB es/materiales_didacticos/ Polinomios/polinomios. htm#suma Actividades interactivas para las operaciones con polinomios. com.ar/teormate/ suma%0de%0polinomios.htm Actividades de suma de polinomios acompañadas de sus propiedades. Ejercicios Dados los polinomios: A(x) = x 6 + 6x 4 + 3x + B(x) = 4x 6 4x 4 + C(x) = 4x 4 5x 3 + x Calcula las siguientes operaciones: a) A(x) + B(x) + C(x) b) A(x) B(x) c) B(x) + A(x) d) C(x) A(x) Haz la suma o resta de los polinomios: a) 3 4 z + 6z + 5z 3 3z + z + 4z 3 + z b) (3n 5 4n + 5) (n 5 + 6n + 3) c) (m 3 + 3m + 7) (m 3 m + ) d) (y 0 + 3y 3 y) + ((y 5 ) 4y + 5y + 8) 87

9 5 Multiplicación Recuerda a (b + c) = a b + a c WEB B rd99/ed /ed html En esta página, Ignacio del Pino nos proporciona una interesante calculadora para operar con polinomios. matematica/m_polinomios.php En esta página hay ejercicios para practicar las operaciones con polinomios. DE polinomios Multiplicación de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. En el ejemplo, 3a (a + 3a + ) hay que multiplicar el monomio «3a» por cada uno de los términos del polinomio. Se opera como una multiplicación normal entre monomios: se multiplican los coeficientes respetando su signo y se multiplican las partes literales: 3a (a + 3a + ) = 3a a + 3a 3a + 3a = 3a 3 + 9a + 3a Multiplicación de dos polinomios Para obtener el resultado de la multiplicación de dos polinomios habrá que multiplicar cada uno de los monomios del primer polinomio por cada uno de los monomios del segundo polinomio. Posteriormente, nos fijamos si en el resultado se pueden sumar monomios semejantes para reducir lo más posible la expresión del polinomio resultante. Ejemplo 5 Si A(x) = 3x + 4x 3 + y B(x) = x +, vamos a calcular A(x) B(x) Paso. Se ordenan los polinomios colocando los términos de mayor a menor según el grado. A(x) = 4x 3 + 3x + B(x) = x + Paso. Se colocan los dos polinomios uno debajo del otro. Si falta algún término en el polinomio que se sitúa arriba, se pone cero o se deja un espacio. 4x 3 + 3x + x + Paso 3. Se multiplica cada monomio del segundo factor por todos los términos del primero, colocando adecuadamente los grados para luego sumarlos. Finalmente, se suman los términos semejantes. 4x 3 + 3x + x + 8x 3 + 6x + A(x) B(x) = 4x 4 + 8x 3 + 3x + 7x + 4x 4 + 3x + x 4x 4 + 8x 3 + 3x + 7x + Ejercicios 88 3 Calcula las multiplicaciones siguientes y reduce al máximo el resultado: a) ( z) (z 3 + z 5z) b) 7y (6y + 3y 3) c) ( m) (3m + m) d) x 6 (x 4x + 3) e) 3x 3 x + x f) 3 x (9x + 7) 4 Teniendo en cuenta los polinomios: A(x) = 5x 5 + 3x 4 4x + x B(x) = 3x + x C(x) = 7x 0x + 0 D(x) = 5 x + x + Calcula: a) A(x) B(x) b) A(x) C(x) c) C(x) B(x) d) B(x) C(x) e) A(x) C(x) f) D(x) C(x) g) D(x) B(x) h) D(x) B(x) i) A(x) ( D(x))

10 6 A B C IDENTIDADES NOTABLES Existen multiplicaciones entre binomios que se pueden expresar de forma sencilla sin necesidad de operar por el procedimiento habitual. Estas multiplicaciones se denominan identidades notables. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS MONOMIOS El cuadrado de una suma (a + b) = (a + b) (a + b) es la multiplicación de dos binomios, y su resultado es a + ab + b. Lo vamos a comprobar haciendo la multiplicación entre dichos polinomios tal y como hemos aprendido: Por ejemplo: (a + b) = (a + b) (a + b) = a + ab + ba + b (a + b) = a + ab + b (x + 3) = (x + 3) (x + 3) = (x) + x = 4x + x + 9 CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS MONOMIOS En el caso de una diferencia ocurre lo mismo, pero el resultado en este caso es: (a b) = (a b) (a b) = a ab ba + b, y agrupando términos semejantes tenemos el resultado: Por ejemplo: (a b) = a ab + b (7 5x) = (7 5x) (7 5x) = ( 5x) + ( 5x) = 49 70x + 5x PRODUCTO DE UNA SUMA DE DOS MONOMIOS por SU DIFERENCIA En este caso, el producto sería (a + b) (a b), y el resultado es a b. Lo comprobamos realizando la multiplicación: Por ejemplo: Ejercicios (a + b) (a b) = a a b + b a b = a b (a + b) (a b) = a b (6x + ) (6x ) = (6x) = 36x 4 WEB webmat/conceptos/encontexto/ productos_notables_contexto. htm Interesantes comentarios históricos y geométricos sobre las identidades notables. internet/av/pnotable.htm Interesantes explicaciones interactivas de las identidades notables. a + ab a + b a + b ab + b a + ab + b a ab Recuerda a b a b ab + b a ab + b a + ab Recuerda a + b a b ab b a b Recuerda 5 Calcula las siguientes identidades notables: a) (x + ) b) (x 3) c) (3x 4x) d) (x + ) (x ) e) 3 x 3 f) (x 5) (x + 5) 6 Indica si las siguientes igualdades son ciertas: a) (5x + 8) = 5x + 8 b) y + z y + z = 4 y 4z c) (3m m ) = 9m 6m 3 + m 4 89

11 5 EJERCICIOS RESUELTOS + + = + = + + = + = Realiza la siguiente operación: ( )x (x + 3x ) ( )x (x + 3x ) A(x) El signo negativo pertenece al coeficiente del monomio. No se debe confundir con una resta. ) Se ordena el polinomio colocando los términos de mayor a menor según el grado. B(x) A(x) = x B(x) = 3x + x ) Se colocan los dos factores uno debajo del otro. Si algún grado no existe se deja un espacio. 3x + x x 3) Se multiplica el monomio por todos los términos del polinomio colocando adecuadamente los grados. 3x + x x A(x) B(x) = 6x 4 x 3 + 4x Resuelve esta operación entre polinomios: x 5 x + 3x + x 5 x + 3x + A(x) Recuerda que para la multiplicación de fracciones, no es necesario buscar el denominador común. ) Se ordena el polinomio colocando los términos de mayor a menor según el grado. B(x) A(x) = x B(x) = 5 x + 3x + ) Se colocan los dos factores uno debajo de otro. Si algún grado no existe se deja un espacio x + 3x + x

12 3) Se multiplica el monomio por todos los términos del polinomio, colocando adecuadamente los grados. 5 x + 3x + x A(x) B(x) = 5 x x + x 3 Realiza la siguiente operación entre polinomios: 6x 3 + 3x + x (x 3 x + 7) A(x) B(x) ) Se ordenan los polinomios colocando los términos de mayor a menor según el grado. A(x) = 6x 3 + 3x + x B(x) = x 3 x + 7 ) Se colocan los dos polinomios uno debajo de otro. Si falta algún grado del polinomio que se coloca arriba, se pone cero o se deja un espacio en blanco. 6x 3 + 3x + x x 3 x + 7 3) Se multiplica cada término del segundo factor por todos los términos del primer factor, colocando adecuadamente los grados. Se realiza después la suma de los términos semejantes. 6x 6 + 3x 5 + 6x 3 + 3x + x x 3 x + 7 4x 3 + x + 7 x x 4 6x 3 x x 4 6x 6 + 3x 5 3 x x x + 7 x A(x) B(x) = 6x 6 + 3x 5 3 x x x + 7 x 9

13 5 EJERCICIOS PROPUESTOS Expresiones algebraicas. El lenguaje algebraico La variable x representa un número natural. Expresa en función de él: a) Su cuádruple. b) El doble de su posterior. c) La mitad de su anterior más cuatro unidades. Expresa algebraicamente los siguientes enunciados: a) Las dos terceras partes del cuadrado de un número. b) El cuadrado del doble de un número. c) El triple de un número más tres. d) El triple de un número, más tres. 3 Expresa algebraicamente el área del dibujo: h 6 Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla indicando el valor numérico de cada expresión: x 3 x 6x x x (0 6x) (x ) 3 x = x = 0 x = x = 7 La velocidad de un cuerpo en movimiento viene definida por la siguiente expresión: v = e, donde v es t el valor de dicha velocidad, e el espacio recorrido y t el tiempo que ha estado en movimiento. Si un cuerpo ha recorrido 500 metros en 30 segundos, cuál es su velocidad? c a b c c 8 Escribe las siguientes expresiones algebraicas de manera que queden ordenadas de menor a mayor en función de su valor numérico en x = 3. a) x + x x b) 3x + 0x c) x 3 + x Expresa algebraicamente el valor de la siguiente diagonal: a Valor numérico de una expresión algebraica d 5 Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: a) x + x; si x = b) x + x + mx; si x =, m = c) m + mx; si x =, m = d) xy x 3 ; si x = 4, y = 3 b 9 Halla el valor numérico en cada caso: a) m + nx m + 7; si m = 4, n =, x = b) xy x + y + y; si x = 3, y = 5 c) 7m x ; si m =, x = d) 8y 3 7y + y ; si y = e) x + xy + y ; si x = 3, y = Monomios y polinomios 0 Explica con tus propias palabras el significado de los términos: a) Monomio. b) Polinomio. c) Término. d) Coeficiente. e) Binomio. f) Factor.

14 Clasifica las siguientes expresiones algebraicas, e indica el coeficiente y la parte literal de cada uno de los monomios. Cuántos términos tiene cada uno? a) x y + 5y b) nm 3 + x c) x + x d) 3 5 x yz e) x y + f) 3 5 ym5 x Clasifica las siguientes expresiones y di cuál es el coeficiente y cuál es la parte literal de cada monomio. a) x yz b) (xy) + x + c) 3 x xy + 5 d) mnx Describe los siguientes polinomios, indicando el número de términos que lo componen y cuáles son los coeficientes y las partes literales de cada uno. a) A(x) = 64x 3 + 4x b) B(x) = 6x + 3x 5x 4 c) C(x) = 8x 8x 3 + 6x 3 49x 5 0 d) D(x) = 6x + 3x 6x 4 4 Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razónalas. a) La parte literal del término independiente es x. b) El coeficiente del monomio xy es cero. c) Todos los binomios están compuestos por dos monomios. d) Dos términos de un polinomio son semejantes si tienen la misma parte literal. Operaciones con monomios 5 Qué condiciones deben cumplir dos monomios para que se puedan sumar o restar? Ocurre lo mismo en el caso de multiplicar o dividir monomios? 6 Reduce al máximo las siguientes expresiones: a) x + 3x + 5x x + b) x 5 x + 7x x 5 c) x 3 x 3 + d) x 7x Calcula: a) 6x + 3x b) 5y + y c) m 3 + 0m 3 + 3m 3 d) 9x 6 + 3x 6 x 6 8 Opera los siguientes monomios: a) (7x) y b) (x 5 ) x c) ( x ) x d) 3y 4 y 9 Realiza las siguientes operaciones: a) (z)3 + 3z z b) 3 xy 4 xy 4 c) z z d) m xy (3m) m e) 3m m 3 m 4 0 Opera: a) 7xy + xy xy b) x (5x + x ) x 3 + 5x c) 7 xy (xy) d) 4x 3 + 5x 3 e) 6m + m Son ciertas las siguientes igualdades? a) xy (x y) = x 3 y m 4 b) = m 4 c) x y z = x 3 y 3 z 3 xyz d) 6x + x 6x x = 0 93

15 5 EJERCICIOS PROPUESTOS 94 Copia en tu cuaderno y une las columnas: xy 5 8ab + b 4m No es un monomio. Aunque tiene igual variable no se puede sumar con 3m. La parte literal de este monomio no existe. 3 Contesta si es verdadero o falso: El coeficiente de este monomio es un número fraccionario. a) Un monomio con coeficiente negativo no se puede multiplicar por otro. b) El resultado de la multiplicación entre dos monomios es siempre otro monomio. c) Para sumar dos monomios, los coeficientes han de ser iguales. d) A la hora de dividir polinomios, primero se dividen los coeficientes y después la parte literal. e) Para multiplicar monomios, las partes literales han de ser semejantes. 4 Calcula mentalmente: a) 7mx + x m 5x m b) 6y + 4y 0y c) 4x + x + 5x d) (4xm + 5xm) Operaciones con polinomios 5 Haz la suma o resta de los siguientes polinomios: a) (x + 3x + ) + (4x + x + ) b) (5m + 3m + m 3 ) + (m + m m 3 ) c) (3x + x 4 + 3x) ( x + x 4 + x) d) (x 3 ) (3x 3 x + ) 6 Opera: a) 0x (6x + 3x) b) 6x (x + x 4 + 3x 4 ) c) 3x (x + 3x x) d) 5x (3x ) 7 Realiza la multiplicación de los siguientes polinomios: a) (3x + x + 7) (4x x + 3) b) (x 3 + x) (5x x + 3) c) ( 3x + ) (5x + x 3 + ) d) (x ) (3x + 3) e) (3x 4 x + 5) (x x) 8 Realiza las siguientes operaciones: a) 3 x x 3 x 4 + (x 4 + 3x 3 + x) b) x 3 + x x 3 x c) (x + y) x y + 3 d) x 3 3 x + e) 4 y 5 4 y 5 + y + 3 y y 5 y 5 9 Opera: a) 3 8 m(m + n ) + mn b) 4x + 3 xy x xy + c) [4(x + y) 3x y] (x + y) d) [3(a b) + ] (x y) 30 Opera y reduce al máximo las siguientes expresiones: a) 5x (x + ) x b) x (x + ) + x c) xy + 3y (x + y)

16 3 mios: a) y 3 Realiza las siguientes operaciones entre polino- d) Son ciertas las siguientes igualdades? a) (5a b + ) = (5ab) + 0ab + 4 y y + y 3 x 6x ( x) + x 3 d) (x + ) (x ) = x x ( 4x ) x x ( x ) 4 ( + x) = + x + x c) (xy 3x) (xy + 3x) = x y 9x b) b) (6 a) + 4a 6 + a 4 6a 4 c) x Simplifica las expresiones: a) x + x + x+ b) (a + b) ( b + a) a b b) 0 ( 4x) 6 (4x ) c) (x + ) (x + ) d) (3x + ) + 3x 3 0x 9x 00 3x 0 d) 5 x + x (5 x) 3 Realiza las siguientes operaciones y reduce al máximo la expresión algebraica resultante. a) 4 (x + b) + ( ) (x + b) c) 3(x ) 33 Dados los polinomios A(x) = x + 4x + 4 y B(x) = x + x, comprueba que la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, es decir, A(x) B(x) = B(x) A(x). 34 Opera: x b) (5x + 3x + ) (4x 3) x 3 + 5x 4 a) 3x (4xy + x) x y + c) (3x y + yx y) y + 3x + 4x 39 Basándote en las identidades notables factoriza las siguientes expresiones: a) a + ax + x b) 4a + 4a + c) 8 4x d) 9 6y + y 40 bles: Opera teniendo en cuenta las identidades nota- a) 49a 5 + 5a 8a a + 5 b) (64 6xy + x y ) (8 xy) (8 xy)3 4 d) (4a b) (b + a) (a3 + b4) 3 Identidades notables 35 Qué son las identidades notables? Explícalo ayudándote con ejemplos. 36 Halla las siguientes identidades notables y comprueba que, operando de la forma habitual, se obtiene el mismo resultado. a) (3x + ) b) (4m m) (5m + 3m) c) (5 y ) d) (5x ) e) (x 4) (x + 4) f) (a ) + 4x 4 x 3 + 3x x + 5 5x 3 x x 4x 4 + 3x 3 + x (x + 5) = x + 0x (a + 3b)(a 3b) = = 4a 9b 95

17 5 PARA REPASAR EN GRUPO Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos. Álgebra CONCEPTO Expresiones algebraicas Valor numérico de una expresión algebraica Monomio DEFINICIÓN Rama de las Matemáticas que se basa en el empleo de símbolos y letras para representar relaciones aritméticas. Es la combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas para expresar una situación cualquiera o para generalizar propiedades matemáticas. Es el resultado que se obtiene cuando se sustituyen las letras de la expresión por números. Es una expresión algebraica formada por la multiplicación de números, letras o números y letras. Coeficiente Es la parte numérica de un monomio. Parte literal Es la parte de un monomio expresada con letras. Grado de un monomio Es la suma de los exponentes de la parte literal. CD En la pestaña Actividades/ Unidad, encontrarás la actividad Respuesta múltiple unidad 5, para repasar los conceptos más importantes. CD En la pestaña Mapa del CD/Juegos matemáticos, encontrarás la ficha El regalo del tío Andrés, para repasar la Unidad. Polinomio Operaciones con monomios Identidades notables Es una expresión algebraica formada por sumas o restas de monomios no semejantes. Suma Resta Multiplicación División Cuadrado de una suma: (a + b) = a + ab + b Cuadrado de una diferencia: (a b) = a ab + b Producto de suma por diferencia: (a + b) (a b) = a b 96

18 CURIOSIDADES, JUEGOS Y DESAFÍOS FÍJATE BIEN Y ACIERTA! Cuál es el producto de la siguiente serie? (x a) (x b) (x c) (x z) El resultado de la serie es «0», porque tiene el término (x x), que anula todo el producto. APLICANDO LóGICA CON LAS FICHAS DEL REVÉS Las fichas del revés tienen la misma forma que las fichas del juego de damas, pero con una cara blanca y la otra negra. En una mesa hay un número «x» de fichas del revés. Solamente 0 de ellas tienen su cara blanca hacia arriba. Nos encontramos ante la mesa con los ojos vendados, y nuestro objetivo es dividir todas las fichas en dos grupos, de modo que en cada grupo haya el mismo número de fichas con el lado blanco hacia arriba. Obviamente, no se puede mirar las fichas. Cómo podemos lograr el objetivo? Simplemente hay que sacar 0 fichas y darles la vuelta. Supongamos que las 0 fichas separadas son b blancas, y (0 b) negras. Al darles la vuelta, el nuevo conjunto tendrá (0 b) blancas y b negras. En la pila originalmente había 0 blancas y (x 0) negras, por lo tanto al retirar 0 fichas, de las cuales b son blancas, quedarán (0 b) blancas. DESAFÍO MATEMÁTICO Poniendo valores a las variables Debes colocar los valores en los lugares que figuran las variables para que se verifiquen los resultados horizontales y verticales. 8 c + f = a d + g = 0 + b e h = = 0 = 8 = 6 97

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