de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, cuántas vueltas habrá dado la segunda?


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1 1. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792. Cuánto costará el hotel a 15 personas durante ocho días? 6 personas 12 días personas 8 días x A más personas más precio. Directa. A más días más precio. Directa. 2. Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, cuántas vueltas habrá dado la segunda? 25 cm 300 vueltas 75 cm x vueltas 3. Un abuelo reparte 450 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad proporcionalmente a sus edades. Cuánto corresponde a cada uno? 4. Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y Al cabo de un año han ganado Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

2 5. Se reparte una cantidad de dinero entre tres personas, de forma directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponden 735. Hallar cuánto dinero les corresponde a la primera y a la tercera. 6. Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; la parte menor es de Cuánto corresponde a las otras dos? 7. Repartir 420, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

3 8. Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, cuánto aporta cada uno? 9. Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. ½ kg m² 12 botes 2 kg m² x botes A más kilos de pintura menos botes. Inversa. A más m² más botes. Directa obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

4 m² 6 días 11 obreros m² 5 días x obreros A más superficie más obreros. Directa. A más días menos obreros. Inversa. 11. Seis grifos tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno? 6 grifos 10 horas 1 depósito 400 m³ 4 grifos x horas 2 depósitos 500 m³ A más grifos menos horas. Inversa. A más depósitos más horas. Directa. A más m³ más horas. Directa. 12. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 800 alumnos 600 alumnos 100 alumnos x alumnos 13. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo? x

5 = 8140 También se puede calcular directamente del siguiente modo: x 14. El precio de un ordenador es de 1200 sin IVA. Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 21%? x =121 = = Al comprar un monitor que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pagar? x 16. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de x 17. Se funden 1000 gr. de oro con una pureza del 90% con una cantidad desconocida oro de pureza 75%. La pureza de la mezcla es del 85%. Qué cantidad de oro de pureza 75% se ha añadido a la mezcla? (1000+x) 85= x 90 X=2000 g 18. Se mezclan 20 kg. de trigo tipo A a 0 6 euros/kg. con 60 Kg. de trigo tipo B a 0 8 euros/kg. Qué precio tiene la mezcla?

6 80 x= x=0 75 /Kg 19. En cierta mina de plata hay dos galerías, de la primera se extraen 8 T. de mineral con una pureza del 60%, de la segunda se extraen 12 T. de una pureza del 70%. Todo en mineral extraído se coloca en una misma pila Cuál es la pureza del mineral que hay en la pila? 20 x= x=83 5 % de pureza Si mezclamos 15 Kg. de café de 11 euros/kg. con una cantidad desconocida de otro tipo de café con un precio de 9.7 euros/kg. Se obtiene una mezcla cuyo precio por Kg. es Cuál será la cantidad de café del segundo tipo que se ha mezclado? (15+x) 10 45=15 11+x 9 7 X=11 Kg 21. En una bodega se produce vino de gran calidad y vino de calidad media. Se quiere lanzar un producto en el que se mezclan 5 litros de vino de gran calidad a 12.6 euros/litro con 15 litros de calidad media a 3.4 euros/litro. Cuál será el precio de la mezcla resultante? 20 x= x=5 55 /Kg 22. Se mezclan 12 litros de agua a una temperatura de 53ºC con 6 litros a 83ºC Cuál será la temperatura de la mezcla? 18 x= x=63ºc 23. Se funden 9 Kg. de oro con una pureza del 80% con 11 Kg. de una pureza del 60% Cuál es la pureza de la mezcla? 20 x= x=72 3 % de pureza 24. Si mezclamos 14 Kg. de café de 10.6 euros/kg. con 6 Kg. de café de precio desconocido. Se obtiene una mezcla cuyo precio por Kg. es Cuál será el precio de un Kg. del segundo tipo de café? = x x=10 5 /Kg 25. Qué cantidades hay que mezclar de dos piensos que producen, respectivamente, 5 cal/g y 7 cal/g para obtener 6 kg de una mezcla que produzca 5 8 cal/g? 6 5 8=x 5+(6-x) 7 x= Kg del primer pienso y 6-3 6=2 4 Kg del primer pienso litros de vino de 1 2 euros el litro, se rebajan con cierta cantidad de agua, de forma que el precio se reduce a 1 15 euros litro. Qué cantidad de agua se añadió? (como no nos dicen el precio del agua, lo ponemos a 0 /l) (230+x) 1 15= x 0 x=10 l

7 27. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de x =80 = = = Si el precio neto de un artículo gravado con un IVA del 21% es de 12 euros, Cuál era su precio bruto? x x = x= = Si el IVA de un artículo aumenta del18 % al 21%, en qué porcentaje aumenta su precio neto? Para facilitar los cálculos ponemos como precio neto inicial del artículo un valor de 100 (precio anterior a la subida) A) Hallamos cuál es el valor sin IVA del artículo, sabiendo que se le aplica un IVA del 18% x x = x= =84 75 B) Hallamos el valor del artículo con el nuevo IVA del 21% x =121 x x= = Del precio 100 se ha pasado al precio , luego la subida ha sido del 2 55 % Otra forma más fácil de hacerlo: Usando directamente la fórmula que nos da el porcentaje de incremento: 100% En este caso: Dado que el IVA anterior a la subida era del 18% tomamos como valor inicial el 118, porque es un precio del que podemos desglosar sin ninguna cuenta el impuesto del precio bruto, que será 100 Gravado con el nuevo IVA del 21% su precio neto será 121. Con estos dos precios podemos calcular el porcentaje de incremento con la fórmula:

8 = %=2 54% Si un día sube la bolsa el 10%, al día siguiente el 15% y al tercer día el 5%, cuál ha sido la subida conjunta de los tres días? Cuál ha sido la subida media? a) El primer día se multiplica por un factor de 1 1%. El segundo día se multiplica por un factor de 1 15%. El tercer día se multiplica por un factor de 1 05%. El resultado conjunto de estas tres multiplicaciones es el producto de los tres factores: = Por tanto la subida conjunta ha sido del % Otra forma de hacerlo es tomar un valor de referencia inicial igual a 100, el primer día ese valor se incrementa un 10%, pasando a un valor de 110. El segundo día ese valor se incrementa un 15%, pasando a Ese valor se incrementa un 5% el tercer día, resultando el valor final de A partir de esos valores inicial y final se calcula el porcentaje de incremento, que será, b) Si, en lugar de subir irregularmente, hubiese subido un porcentaje fijo cada día, x, al cabo de los tres días la subida habría sido: =, de donde: = =9 924% 31. Un iceberg pierde cada día un 10% de su peso, qué porcentaje de su peso habrá perdido al cabo de una semana? Al perder un 10% de su peso, el factor por el que se multiplica cada día será: : =0 9 Al cabo de 7 días, el peso se multiplica por ese factor 7 veces: 0 9 =0 478 Si el valor inicial es 100 el valor final será: 47 8, por lo tanto el porcentaje de incremento será: 100%= 52 2% 32. Un inversor ha perdido el 20% de sus ahorros en la bolsa, cuánto debería subir la bolsa para que recuperase la cantidad perdida? Si su inversión inicial es de 100, al perder un 20% le quedan 80. Para que recupere su inversión debe pasar del valor inicial de 80 al valor final de 100, lo cual corresponde a un porcentaje de incremento: 100%=25% 33. Un depósito bancario se remunera con un interés compuesto del 3% anual. Cuál ha sido su rentabilidad al cabo de 5 años? Al ganar un 3% anual, el factor por el que se multiplica cada año será: : =1 03 Al cabo de 5 años, el saldo se multiplica por ese factor 5 veces: 1 03 = Si el valor inicial es 100 el valor final será: , por lo tanto el porcentaje de incremento será: 100%=15 93% 34. (Castilla la Mancha, junio 2005) Para llenar un depósito de agua tenemos dos mangueras de pozos distintos. Por separado tardan en llenarlo 2 y 3 horas. Cuánto tardan entre la dos? Además el depósito tiene cuatro desagües iguales que juntos vacían el depósito en una hora. Si, por descuido, el depósito comienza a llenarse con un desagüe abierto, cuánto tardará en estar lleno? a) No es posible operar directamente con el tiempo de llenado, dado que su relación con el número de grifos es inversa, por tanto en todos los problemas que sean de este tipo, debemos hacer la suma en términos de la parte del depósito que se llena en una hora.

9 Si el primer grifo llena el depósito en 3 horas, en una hora llena 1/3 del depósito. Igualmente el segundo grifo llenará en una hora ½ del depósito. Por lo tanto, entre los dos grifos, en una hora llenan: += Y para saber cuánto tardan en llenar el depósito se usa una regla de 3: 1 hora x horas ó 1 ó 1 =5 6 = 6 5 =1 2 h b) Teniendo en cuenta que los 4 desagües vacían el depósito en 1 hora, un solo desagüe, en 1 hora vaciará ¼ del depósito. Por tanto, si se mantiene un desagüe abierto, a los 5/6 que llenan los grifos hay que restarle ¼ que se vacía, en una hora, resultando: = Y para saber cuánto tarda en llenarse el depósito se usa la regla de 3: 1 hora x horas ó 1 ó 1 = 7 12 = 12 7 =1 71 h 35. (Castilla la Mancha, junio 2008) Tres socios invierten juntos en bolsa las cantidades de 10000, y respectivamente para repartirse los beneficios de forma directamente proporcional a las cantidades invertidas. Establezca las cantidades correspondientes a cada uno si al cabo de 6 meses han obtenido un beneficio de = = = =0 35 = =3500 = =4200 = = (Castilla la Mancha, Junio 2009) En una vaquería un rebaño de 20 vacas se come, en 15 días 2400 Kg de pienso. Determinar: a. Cuántos días durarán 4200 Kg. a 75 vacas? b. Cuántas vacas se comerán los 4200 Kg. de pienso en 21 días? c. Cuántos kilos de pienso se comerán 43 vacas en 25 días? a) 4200 í 75 A más días, más pienso consumido. Directa. A más días, menos vacas se alimentan: Inversa í 20

10 15 = = =7 í b) í A más vacas, más pienso consumido. Directa. A más vacas, menos días dura el pienso: Inversa. c) í 20 = = = í A más vacas, más pienso consumido. Directa. A más pienso, más días de duración: Directa í 2400 = = = OTRA FORMA DE HACERLO: Reducción a la unidad. Previamente identificamos que la cantidad de pienso consumido, P, es directamente proporcional al número de vacas, V, y al número de días que les dura, D. Por lo tanto el cociente de P entre el producto de las otras dos, es constante. A partir de los datos conocidos, hallamos la constante de proporcionalidad, que es el consumo de una vaca en un día. = =8 í Ahora esta ecuación, =8 nos permite despejar el dato desconocido en cada uno de los tres apartados: =7 í a) b) c) =8 = =8 = =35 =8 = =8600

11 37. (Extremadura, junio 2003) Se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto dando lugar a una mezcla de 10 grados (10 º de alcohol), Si, por el contrario, se mezclaran 20 litros de vino blanco con 60 litros de vino tinto, se obtendría un vino de 11 grados. Se pide: a. Qué graduación tiene el vino tinto? b. Qué graduación tendría una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de vino tinto? a) En este problema de mezclas tenemos dos incógnitas (x= graduación del vino blanco, y=graduación del vino tinto), por eso nos dan dos mezclas distintas, de forma que con cada una de ellas podemos plantear una ecuación y tenemos un sistema de ecuaciones: 80 10=60 x+20 y 80 11=20 x+60 y Se simplifican las ecuaciones para que el sistema resultante sea más fácil de resolver: 40=3x+y 44=x+3y 40=3x+y 44=x+3y y=40 3x 44=x+3(40 3x) 44= = =9 5 x=9 5 (graduación del vino blanco) y= y= =11 5 (graduación del vino tinto) b) 80 x= =10 5 (graduación de la mezcla a partes iguales) Observación: para calcular la graduación de la mezcla no es necesario conocer las cantidades que se mezclan, sino solo las proporciones, ya que cualquier mezcla a partes iguales dará el mismo resultado, aunque las cantidades varíen. 38. (C. Valenciana, Junio 2009) A Marina, Elena y Josep les ha tocado la lotería y tienen que repartirse un premio de Marina jugó 10, Elena 20 y Josep 30. Qué premio le corresponde a cada uno, teniendo en cuenta que el reparto es proporcional a lo jugado? Reparto proporcional: 10 = 20 = 30 = =50 =50 10=500 =50 20=1000 =50 30= (La Rioja, 2009) Si 25 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4 km de carretera, cuántos obreros, trabajando 10 horas, se necesitarían para pintar 15 Km? PROPORCIONALIDAD COMPUESTA: 10 h 15 8 h 25 4 A más horas de trabajo, menos obreros necesarios: Inversa. A más obreros trabajando, más km de carretera se pintan Directa.

12 25 = = = (Canarias, 2008) Se repartió una herencia de 16 millones y medio de euros entre una viuda, su hijo y su hija, de modo que el hijo recibió la mitad de lo que recibió su hermana, y ésta el triple de lo que recibió su madre. Cuánto recibió cada uno? Si llamamos x a lo que recibió la madre, sabemos que la hija recibió 3x y el hijo recibió la mitad, es decir, siendo la suma de las tres cantidades igual al total, es decir: =16 5 Resolviendo esta ecuación, tenemos, =3 (parte de la madre), la parte de la hija será el triple: 3 3=9 millones de euros y la parte del hijo la mitad de esta cantidad, es decir 9/2=4 5 millones de euros (Castilla León, Junio 2009) Al repartir una cierta cantidad de dinero en partes proporcionales a las edades de tres hermanos, que tienen 15, 25 y 20 años respectivamente, le correspondieron al segundo 610 más que al más pequeño. Cuánto le correspondió a cada hermano? REPARTO PROPORCIONAL: 15 = 25 = 20 =++ 60 Como nos indican que =+610 Podemos plantear la ecuación: = 25=15(+610) 10=9150 =915(parte del menor) = =1525 (parte del mediano) = =1525 (parte del mediano) Y = =1220 (parte del mayor) 42. (Madrid, Junio 2010) Una organización está preparando la acogida de refugiados en un campamento. En un primer momento recibieron la donación de 4400 euros, con los que se puede alimentar a 40 personas durante 20 días. Más tarde les notificaron que debían acoger a 12 personas más, por lo que recibieron una dotación adicional de 748 euros. Determine cuántos días se podrá alimentar a los refugiados en las nuevas condiciones. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA: 52 í 5148 A más personas, menos días dura el dinero: Inversa í 4400 A más días de acogida, más euros se necesitan Directa. 20 =

13 = =18 í (Extremadura, Septiembre 2010) Con 450 litros de agua hemos regado durante 9 días 10 árboles de una forma eficiente, y al 70 % de ellos se les ha aplicado una cura con un coste total de 55 euros. Resuelve las siguientes cuestiones: a. Cuántos litros de agua ha necesitado cada árbol diariamente? b. Con 900 litros de agua cuántos días podríamos regar 5 árboles? c. Cuántos árboles podríamos regar con 1800 litros de agua durante 12 días? d. Calcular el coste de la cura por cada árbol y redondearlo a dos cifras decimales. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA: Reducción a la unidad, la cantidad de agua consumida es directamente proporcional a la cantidad de árboles y al número de días que los regamos. De forma que si se duplica el número de árboles o se duplica el número de días de riego, el consumo de agua también se duplica. La constante de proporcionalidad es: Si C es el consumo de agua, A el número de árboles y D el número de días de riego. La constante de proporcionalidad es = =5 á í a) El consumo de agua por árbol y día es igual a la constante de proporcionalidad, 5 litros. b) =5 = =36 í =5 = =30 á c) d) Coste de la cura: =8 73 por árbol. 44. (Castilla la Mancha, Junio 2011) En un hospital se dispone de un cuerpo de 75 médicos que trabajan 4 días a la semana en turnos de 12 horas diarias. Se pretende llegar a un acuerdo para que trabajen 5 días a la semana en turnos de 10 horas diarias. Cuántos médicos harán falta para realizar el mismo servicio? PROPORCIONALIDAD COMPUESTA: 5 í é 12 h 4 í 75 é 10 h A más días semanales, menos médicos necesarios: Inversa A más médicos, menos horas por turno: inversa. = = =50 é

14 En este ejemplo, al ser las dos relaciones inversas, la constante de proporcionalidad es igual al producto de las tres magnitudes: M=número de médicos, D=número de días por semana, H=número de horas por turno. M D H=3000 Que son las horas totales de trabajo de los médicos que se necesitan en el hospital a lo largo de una semana. 45. (C. Valenciana, septiembre 2011) Si 25 obreros, trabajando durante 8 horas, pintan 4 km de carretera, cuántos obreros, trabajando 10 horas, se necesitarían para pintar 15 km? Este problema es idéntico al número (C. Valenciana, Junio 2011) Las 3/4 partes de las plazas de un avión son de clase preferente y el resto de clase turista. El 40 % de las plazas de clase preferente y el 70 % de las de clase turista están ocupadas; las restantes están vacías. Si en total hay 228 plazas ocupadas. Cuál es el número total de plazas del avión? Si llamamos x al número total de plazas que tiene el avión. El número de plazas de preferente son y el número de plazas de turista son. El número de plazas ocupadas en preferente es el 40%, es decir:, lo cual simplificado es: 0 3 El número de plazas ocupadas en turista es el 70%, es decir:, lo cual simplificado es: Sumando estas dos cantidades tenemos el total de plazas ocupadas, que según nos dice el enunciado son 228. Es decir: = =228 = = (Madrid, mayo 2012) En una comunidad de vecinos algunos gastos se reparten de forma directamente proporcional a la superficie de las viviendas. Tienen que afrontar el pago de una obra por valor de el edificio tiene un bajo con un local y dos plantas. El local mide 200 m 2 ; en cada planta hay tres viviendas: A, B y C. Cada una de las viviendas A tiene 60 m 2, cada una de las B tiene 45 m 2 y cada una de las C, 75 m 2 Calcule la cantidad del pago de la obra que le corresponde a cada uno de los 7 propietarios de la finca. Reparto proporcional: Hallamos el total de metros cuadrados que componen la finca y la parte del gasto que corresponde a cada metro cuadrado. Luego multiplicamos esa parte por el número de metros que tiene cada propietario. Total de metros cuadrados: x60+2x45+2x75=560 m 2 Parte del pago que corresponde a cada metro: 2520/560= 4 5 Parte que corresponde a cada propietario: Local: =900 1ºA y 2ºA: =270 1ºB y 2ºB: = ºC y 2ºC: = (Castilla la mancha, junio 2012) En la construcción de un puente trabajaron personas en turnos de 8 horas durante 300 días. a. Cuánto habrían tardado si los turnos fuesen de 10 horas? b. Y si hubieran trabajado 600 personas en turnos de 8 horas? c. Y si fuesen personas trabajando 5 horas diarias? PROPORCIONALIDAD COMPUESTA:

15 Todas las magnitudes son inversamente proporcionales entre sí. La constante de proporcionalidad es el producto de las tres, que equivale al número total de horas de trabajo necesarias para construir el puente. P H D= = a) x= = b) x= = c) x= = =240 í =3000 í = 320 í Alternativamente, las dos primeras se pueden calcular con una regla de tres simple inversa, y la tercera con una regla de tres compuesta. 49. (La Rioja, junio 2010) Los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean: 2/5 en combustible para calefacción, 1/8 en electricidad, el 25% en mantenimiento y 81 euros en limpieza. a. Qué fracción del total se destina a limpieza? b. De cuánto dinero dispone la comunidad? c. Qué cantidad de dinero se emplea en cada apartado? a) Si el total recaudado representa la unidad, la fracción que se destina a limpieza es la diferencia entre el total y las fracciones del total que se destinan a otros gastos, es decir: = = = b) Si el total recaudado es x, sabemos que los gastos de limpieza representan 9/40 de x, y eso es 81, luego =81 = = (C. Valenciana, junio 2012) Un 40% de los matriculados en un curso de preparación de la prueba de acceso a ciclo superior son hombres. La mitad de los hombres y una de cada tres mujeres tienen algún título de grado medio. Si las mujeres que tienen algún título de grado medio son 12: a. Cuántas personas hay matriculadas en dicho curso? b. Cuántas personas matriculadas no tienen ningún título de grado medio? a) Si x es el número total de personas matriculadas, el número de hombres es: x y el número de mujeres es el resto, es decir, x. De estas, la tercera parte tiene un título, y sabemos que son 12, luego: x=12 x= =60 (total de personas matriculadas). b) Las personas que no tienen título son la mitad de los hombres y los dos tercios de las mujeres, es decir: =12+12= (C. Valenciana, septiembre 2010) Al comprar un artículo nos han hecho un descuento del 20%, pagando finalmente por él 48. Cuánto habríamos pagado por el mismo artículo si el descuento hubiese sido del 30 %? Hallamos con una regla de tres el precio sin descuento y luego con otra regla de 3 el precio con descuento del 30%: = x= =60 (precio sin descuento

16 = x= =42 (precio con el descuento nuevo) 52. (C. Valenciana, junio 2012) El 12% de una cantidad más el 18% de su mitad suman 966. Cuál era la cantidad inicial? x x= =966 = = (C. Valenciana, junio 2010) En un examen de biología aprueba el 52% del alumnado.posteriormente, los suspendidos realizan una recuperación, aprobando el 25%. Si en total son 32 los aprobados, a. cuál es el porcentaje de aprobados? b. Cuántos alumnos/as son en total? a) El porcentaje de aprobados será el 52% (que aprueba a la primera) más el 25% de los que suspenden a la primera que son el 48%, es decir: + = + = =64% b) Si x es el total de alumnos, sabemos que el 64% son los aprobados, y esos son 32, por lo que: (Baleares, septiembre 2010) Qué porcentaje de rebajas se obtiene con esta oferta: Lleve 3 y pague 2! - 3x2 en todos los productos? En esencia, esta oferta puede interpretarse como que algo de valor 3 se compra por valor 2. En consecuencia, el porcentaje de descuento será: 100%= %=33 33% 55. (Baleares, mayo 2010) Un lanzador de tiro con arco hace diana en 15 de cada 20 tiros y otro en 24 de cada 30 tiradas, Cuál de los dos tiene mayor eficacia? Para poder compararlos hallamos el porcentaje de acierto de cada uno: Porcentaje de aciertos del primero: 100%=75% Porcentaje de aciertos del segundo: 100%=80% Por lo tanto es mayor la eficacia de tiro del segundo, ya que su porcentaje de aciertos es mayor.

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