5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 114


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1 5Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 4 Pág. P RACTICA Ecuaciones: soluciones por tanteo Es o solución de alguna de las siguientes ecuaciones? Compruébalo. a) 5 b) 4 c) ( ) d) 4 4 a)? 0? 5 no es solución. () 5 sí es solución. b) es solución.? 4 no es solución. 4 c) ( ) 9 es solución. ( ()) () () no es solución. d) 4?4 no es solución. 4 () 6 4 es solución. Resuelve mentalmente y eplica el proceso que has seguido. a) ( ) 00 b) 7 4 c) 5 4 d) 4 6 e) 5 f) a) puede ser 0 o 0 0 b) tiene que ser igual a tiene que valer 9 7 c) 5 tiene que ser igual a 5 tiene que ser igual a 5 5 d) 4 tiene que ser igual a 4 tiene que valer 6 o e) 5 tiene que valer 5 tiene que ser igual a 0 5 f) 7 tiene que ser 5

2 4 Busca por tanteo una solución eacta de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 5 7 b) 9 c) ( ) 6 d) 5 Pág. a) b) 60 c) 5 d) 5 Busca por tanteo una solución aproimada de las siguientes ecuaciones: a) b) 4 54 c) 5 0 d) 0,005 e) 5 0, f) 0,75 7 a) 7,5 b) 4,4 c) d) 4 e) 0,7 f) 44 Ecuaciones de primer grado 6 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución de cada una: a) ( ) ( ) b) 4 4 ( ) 5 ( ) 0 c) 7 ( ) ( ) d) 4 ( 7) ( ) (7 ) a) ( ) ( ) 6 Comprobación: ( ) ( ) 5 5 b) 4 4( ) 5( ) Comprobación: 4 4( ) 5( ) c) 7 ( ) ( ) Comprobación: 0 7 (0 ) (0 ) 9 9 d) 4( 7) ( ) (7 ) Comprobación: 4[() 7] [() ] [7 ()] Comprueba si estas dos ecuaciones son equivalentes: ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5) Son equivalentes, porque tienen la misma solución.

3 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( ) ( ) 4 ( ) (4 5) b) c) d) e) 5 6 f) 4 6 a) ( ) ( ) 4( ) (4 5) b) ( 5 ) ( ) ( ) 5( ) c) ( ) ( ) d) 4 ( 4) 5( ) e) ( 6 ) ( ) (5 6) ( ) 4( ) f) ( ) ( ) ( 4) (4 ) Pág. 9 Resuelve y comprueba la solución de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 4 5 b) c) a) ( ) ( 4 5 ) 0( ) 0( ) 5( 4) ( 5) Comprobación:

4 b) ( 5 0 ) ( 4 ) ( ) 4(4 ) 5(5 ) 0( ) Comprobación: c) ( 5 4 ) ( 0 60 ) 4( 5) 5( 5) ( 6) ( 4) Comprobación: Pág. 4 0 Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla sus soluciones: a) (4 )(4 ) 4 ( ) b) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( )5 ( ) d) ( ) ( ) 4 a) (4 )(4 ) 4( ) 6 9 4(9 4 ) b) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) 5( ) d) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( 4 ) 4( ) ( ) ( ) 4 4 (4 4)

5 PÁGINA 5 Pág. 5 Ecuaciones de segundo grado Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula de resolución: a) 0 b) 0 c) 5 0 d) 0 e) f) g) 6 00 h) 6 0 a) 0 ( 4) 0 b) 0 ( ) 0 c) 5 0 ( 5) 0 d) 0 4 e) f) No tiene solución. g) h) / 0 5/ 0/4 5/ 0/4 5/ Resuelve. a) 4 0 b) c) d) 0 e) f) 0 g) h) 0 a) 4 ± b) 9 ± / 5/ 4 ± 0 9 ± 4 5 c) 9 ± ±

6 d) ± 4 0 No tiene solución. Pág. 6 e) 4 ± ± 0 7 f) ± No tiene solución. g) 4 0 ± ± 0 5 h) ± 9 4() 0 4 ± 5 4 /4 / Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( )( ) ( )( ) b) ( )( ) ( ) 5 0 c) ( ) 4 ( )( ) d) ( 4) ( ) a) ( )( ) ( )( ) 6 5 ± ± b) ( )( ) ( ) ± 4 (4) ± 69 ± 7/ c) ( ) 4 ( )( ) ± ± 4 4 ± / d) ( 4) ( ) 6 (4 4) ± 6 4 () 5 4 ± 96 5/ 4 ±

7 4 Resuelve las ecuaciones siguientes: a) (5 4)(5 4) ( ) 9 4 Pág. 7 b) ( ) ( ) c) ( )( ) ( )( ) 6 d) ( ) e) ( ) ( ) 4 6 a) (5 4)(5 4) ( ) (9 6 9) (7 ) 0 0 /7 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( 4 ) 4( ) ( ) ± c) ( )( ) ( )( ) 6 6 ( 6 ) ( ) ( ) 4( ) ± 4() 0 ± 6

8 d) ( ) ( ) 0 [ 5 5 ] 0 ± No tiene solución. Pág. e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 6 ) 6 6( ) ( ) 4( ) ( 4 4) P IENSA Y RESUELVE 5 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0,5 [ ( ) ] 0,5 ( ) b) 0,,4 6 0 c) (,)(,5) 0 d) 4 ( ) 00 0 a) 0,5[ ( ) ] 0,5( ) 0,5( 4 4) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b) 0,,4 6 0,4 ± 5,76 4(0,)(6) 0,6,4 ±,6 0,6 0 c) (,)(,5) 0, 0,,5 0,5 d) 4( ) ( ) ± ± 0 6

9 6 Algunas de las siguientes ecuaciones no tienen solución y otras tienen infinitas soluciones. Resuélvelas y compruébalo (recuerda que, en realidad, estas igualdades no son ecuaciones, ya que no tienen término en ). a) 4 ( ) ( ) 5 ( ) b) ( ) ( ) ( ) c) d) 7 4 a) 4( ) ( ) 5( ) No tiene solución. b) ( ) ( ) ( ) Tiene infinitas soluciones. c) ( ) ( ) Tiene infinitas soluciones. d) ( ) ( 4 ) No tiene solución. e) ( ) ( ) No tiene solución. Pág. 9 7 La suma de tres números naturales consecutivos es igual al quíntuple del menor menos. Cuáles son esos números? Llamemos,, a los números. Así: Los números son 7, y 9. Calcula un número tal que sumándole su mitad se obtiene lo mismo que restando 6 a los 9/5 de ese número ( ) ( 5 ) El número es 0. 9 Halla tres números impares consecutivos tales que su suma sea 7. (Un número impar es ) Los números son 7, 9 y 4.

10 0 Calcula las longitudes de los lados de un rectángulo de perímetro cm y cuya base mide cm más que la altura. Pág. 0 ( ) 4 6,5 La base mide 4,5 cm, y la altura, 6,5 cm. He pagado 4,0 por un bolígrafo, un cuaderno y una carpeta. Si el precio de la carpeta es 5 veces el del cuaderno y este cuesta el doble que el bolígrafo, cuál es el precio de cada artículo? Precio del bolígrafo, ; cuaderno, ; carpeta, ,0 4,0, El bolígrafo cuesta, ; el cuaderno,,, y la carpeta,. El precio de unos zapatos ha subido un 5% en diciembre y ha bajado un 0% en enero. De esta forma, el precio inicial ha disminuido en 6,96. Cuál era el precio inicial?,5 0, 6,96 0,9 6,96 6,96 0,0 7 El precio inicial era 7. Luis y Miguel han comprado dos videojuegos que tenían el mismo precio, pero han conseguido una rebaja del 6% y del 9%, respectivamente. Si Luis pagó,6 más que Miguel, cuál era el precio que tenía el videojuego? Luis pagó 0,4 y Miguel pagó 0,. 0,4 0,,6 0,0,6 4 El precio del videojuego era 4. PÁGINA 6 4 Calcula el capital que colocado al 6% de interés compuesto durante dos años se ha convertido en 9. es el capital inicial., ,76,06 El capital inicial era 90,76.

11 5 Si un número aumenta un 0%, resulta 9 unidades mayor que si disminuye un 5%. Cuál es ese número? es el número., 9 0,5 0, es el número buscado. Pág. 6 Con,5 más del dinero que tengo, podría comprar la camiseta de mi equipo. Si tuviera el doble, me sobrarían 7,5. Cuánto dinero tengo? es el dinero que tengo.,5 7,5,5 7,5 0,75 es el dinero que tengo. 7 Tres amigos trabajan 0, 0 y 50 días en un negocio. Al cabo de tres meses, se reparten los beneficios correspondiendo al tercero 00 más que al segundo. Cúal fue la cantidad repartida? Si son los beneficios, al primero le corresponde son los beneficios días de trabajo. Las partes que corresponden a cada uno son: 0; 0 y es la cantidad repartida. 9 Del dinero de una cuenta bancaria retiramos /7; ingresamos después /5 de lo que quedó y aún faltan para tener la cantidad inicial. Cuánto dinero había en la cuenta? es el dinero de la cuenta. 6 Retiramos quedan Ingresamos había en la cuenta De un depósito de agua se sacan un /7 de su contenido; después, 40 litros, y por último, 5/ del agua restante, quedando aún 60 l. Cuánta agua había en el depósito?

12 son los litros que hay en el depósito. Sacamos quedan 5 Sacamos 40 l quedan Sacamos quedan ( 7 ) ( 7 ) Quedan litros de agua había en el depósito. Pág. Un padre de 4 años tiene dos hijos de 9 y años. Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? son los años que tienen que pasar. (9 ) ( ) Han de transcurrir años. La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo y dentro de 4 años será el doble. Qué edad tiene cada uno? es la edad del hijo es la edad del padre. Dentro de 4 años la edad del hijo será 4, y la del padre, 4. ( 4) El hijo tiene 4 años, y el padre, 4 años. 4 Calcula cuántos litros de aceite de orujo de,6 /l tenemos que añadir a un bidón que contiene 60 l de aceite de oliva de, /l para obtener una mezcla de,5 /l. Mira el problema resuelto de la página. son los litros de aceite de orujo. CANTIDAD PRECIO COSTE ORUJO,6,6 OLIVA 60,, 60 MEZCLA 60,5,5( 60) Tenemos que añadir 0 litros.,6 6,5 50 0,9 0 l 5 Al mezclar 0 kg de pintura con 50 kg de otra de calidad inferior, obtenemos una mezcla a,0 /kg. Si el precio de la pintura barata es la mitad que el de la otra, cuál es el precio del kilo de cada clase de pintura? CANTIDAD PRECIO COSTE PINTURA I 0 60 PINTURA II MEZCLA 0,0 0, ,4 /kg La pintura cara vale 4, /kg, y la pintura barata,,4 /kg.

13 6 Una marca de café se elabora con un 0% de café colombiano de /kg, y el resto, con otro tipo de café. La mezcla resulta a 4,5 /kg. Cuál es el precio del café más barato? Para obtener kg de mezcla, ponemos 0, kg de café colombiano y 0,7 kg del otro café. 0, 0,7 4,5 0,7,75,5 /kg El precio del café barato es,5 /kg. Pág. 7 Un centro escolar contrató un autobús para una salida al campo. Con todas las plazas ocupadas, el precio del billete es ; pero quedaron 4 plazas libres por lo que el viaje costó,5. Cuántas plazas tiene el autobús? Con plazas a se obtiene lo mismo que con 4 plazas a,5. es el número total de plazas. ( 4),5, ,5 6 es el número de plazas que tiene el autobús. PÁGINA 7 9 Un ciclista que va a km/h tarda tres cuartos de hora en alcanzar a otro que le lleva una ventaja de,5 km. Qué velocidad lleva el que va delante? La velocidad con la que se acercan es la diferencia de las velocidades absolutas. es la velocidad del que va delante. La velocidad con que se acercan es. Con esa velocidad, deben recorrer,5 km en 0,75 h.,5 ( ) 0,75,5 km/h 0,75 40 La distancia entre dos ciudades, A y B, es 0 km. Un tren sale de A a 0 km/h, y media hora más tarde sale un coche de B hacia A que tarda, horas en cruzarse con el tren. Qué velocidad lleva el coche? Ten en cuenta que el tren ha recorrido 40 km cuando sale el coche. El tren ha recorrido 0 0,5 40 km antes de que salga el coche. La distancia que hay entre los dos es ahora 40 km. Si es la velocidad del coche, se acercan a (0 ) km/h. (0 ), km/h,

14 4 Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos 0. Cuál es el número? es el número buscado ± ± 0 El número puede ser o 0. Hay dos soluciones. Pág. 4 4 Halla dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 45. Los números son y. ( ) ± 7 4 Son y 9, o bien, 9 y. Hay dos soluciones. ± Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos, obtenemos el quíntuple de la suma de ambos. De qué número se trata? es el número que buscamos. ( ) 5( ) ± 4 6 El número puede ser, o bien,. Hay dos soluciones. 9 ± 5 44 Calcula los lados de un rectángulo cuya diagonal mide 0 cm y en el que la base mide cm más que la altura. Mira el problema resuelto de la página. 0 ( ) ± 4 4(4) ± 4 6. No vale. La altura mide 6 cm, y la base, cm.

15 45 Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 47 cm. Cuánto mide el lado del cuadrado? Área del mayor: () Área del menor: 4 47 A 47 cm A Pág El lado del cuadrado mide 7 cm No vale. 46 Los catetos de un triángulo rectángulo suman cm y su área es 40 cm. Halla los catetos de este triángulo. Si un cateto mide cm, el otro medirá ( ) cm. Área: ( ) ± ± 4 7 Los catetos miden 7 cm y cm, respectivamente. 47 La base de un rectángulo mide 5 cm más que la altura. Si disminuimos la altura en cm, el área del nuevo rectángulo será 60 cm. Halla los lados del rectángulo. ( 5)( ) ± 9 4(70) ± 7 La altura mide 7 cm, y la base, cm. 0 7 No vale. 4 El perímetro de un rombo es 40 cm y sus diagonales se diferencian en 4 cm. Halla la medida de sus diagonales. Si una diagonal mide, la otra medirá 4. El lado con la mitad de cada diagonal forma un triángulo rectángulo. l 4 El lado del rombo mide cm.

16 ( 5 ) ( ) ± 96 4( 5) 4 4 ± 9 56 No vale. La diagonal menor mide 4 cm, y la mayor, 56 cm. Pág. 6 R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 49 Si al resolver una ecuación de primer grado llegamos a 0, cuántas soluciones tiene la ecuación? Y si llegamos a 0 0? 0 La ecuación no tiene solución, porque ningún número multiplicado por 0 puede ser igual a. 0 0 La ecuación tiene infinitas soluciones, porque cualquier número multiplicado por 0 es igual a Justifica cuántas soluciones tiene cada una de las siguientes ecuaciones: a) (5 ) ( ) b) c) ( ) 4 ( ) a) (5 ) ( ) 5 0 No tiene solución, porque no hay ningún número que multiplicado por 0 sea igual a. b) 0 0 Tiene infinitas soluciones, porque cualquier número multiplicado por 0 es igual a 0. c) Tiene una solución. PÁGINA 5 Si el discriminante de una ecuación de segundo grado es D 5, qué podemos decir del número de soluciones de la ecuación? Y si D 0? Si D 5, el número de soluciones es. Si D 0, el número de soluciones es.

17 5 Resuelve como en el ejercicio anterior: a) ( )( ) 0 b) (5 ) 0 c) ( 4) 0 d) 5 ( ) 0 Pág. 7 a) ( )( ) 0 b) (5 ) 0 c) ( 4) d) 5( ) /5 55 Inventa ecuaciones de segundo grado con: a) Dos soluciones: y b) Dos soluciones: y c) Dos soluciones: 0 y 5 d) Una solución: 4 e) Ninguna solución. a) ( )( ) b) ( ) 0 7 ( ) c) ( 5) d) ( 4) 0 e) En la ecuación 4 m 0: a) Qué valor debe tomar m para que tenga dos soluciones iguales? b) Y para que sean distintas? c) Y para que no tenga solución? a) 4 m 0 D 4 4 m m 0 m 49 b) Para que sean distintas, m? 49 y m < 49. c) Para que no tenga solución, 96 4m < 0 96 < 4m m > Cuál debe ser el valor de a para que sea solución de la ecuación ( ) a 0? Justifica tu respuesta. ( ) a 0 ( ) a 0 a 0 a 7 5 Son equivalentes las ecuaciones 0 y 4 0? Justifica tu respuesta. 0 ( ) No son equivalentes, porque no tienen las mismas soluciones.

18 5Soluciones a los ejercicios y problemas 59 La ecuación b 4 0 puede tener por soluciones y? Razona tu respuesta. b 4 0 b 4 0 b 4 b 4 0 b No, porque para que sea solución tiene que ser b 4, y para que sea solución, b. Solo sería posible si obtuviéramos el mismo valor para b en ambos casos. Pág. P ROFUNDIZA 60 Epresa en función de m la solución de la ecuación m m m. Para qué valor de m la ecuación no tiene solución? m m m m m m (m ) m La ecuación no tiene solución si m. m m 6 En las dos orillas de un río hay dos palmeras. La más alta mide 0 codos; la otra, 0 codos, y la distancia entre ambas es de 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Al descubrir los dos pájaros un pez en la superficie del río, se lanzan rápidamente, alcanzando al pez al mismo tiempo. A qué distancia del tronco de la palmera más alta apareció el pez? 0 d d 0 d 0 (50 ) d 0 La distancia a P es la misma desde las dos palmeras. P 50 0 (50 ) m A 0 m de la palmera más alta.

19 6 Si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas, el resultado es. Averigua cuál es el número sabiendo que la cifra de las unidades es. Pág. 9 es la cifra de las decenas. El número es 0. (0 ) (0 ) El número buscado es 4. 6 Para saldar una deuda, un banco me ofrece dos opciones. Pagarla dentro de años con un % de interés anual o pagarla dentro de 9 meses al 5% de interés anual. Con la segunda opción pago 577, menos que con la primera. Calcula el dinero que debo. es el dinero que debo; 5% anual 5,5 mensual Con la. a opción pago,0. Con la. a opción pago (,05) 9.,0 (,05) 9 577, 0,04 577, 000 es el dinero que debo. 64 Ejercicio resuelto Resolver la ecuación Es una ecuación bicuadrada. Hacemos el cambio y. Sustituimos en la ecuación y resolvemos: y 9 9 y y 6 0 y 4 4 Comprueba las cuatro soluciones de la ecuación. Las soluciones son ; ; y. PÁGINA 9 65 Resuelve como en el ejercicio anterior las siguientes ecuaciones bicuadradas: a) b) c) d) 6 4 0

20 a) 4 7 y 6 0 y 7y 6 0 Pág. 0 7 ± 7 y ± 5 y 6 y 4 4 b) y 4 0 4y 7y ± 7 y ± 5 y y /4 / / c) 4 y 9 0 y y 9 0 ± y 4 9 ± 0 y 9 y No vale d) 6 4 y 0 6y y 0 ± y ± 5 7 y /4 y /9 / / / / 66 Ejercicio resuelto Resolver la ecuación. Multiplicamos los dos miembros por ( ), que es el mín.c.m. de los denominadores. ( ) ( ) 0 Resuelve esta ecuación y comprueba las soluciones en la ecuación dada. ± 4 0 ± 7 4 Comprobación: : 4 es solución. 4 4: 4 4 es solución 4 (4) 4

21 67 Resuelve como en el ejercicio anterior: a) b) 0 c) d) a) ( ) ( ) ± ± 5/6 b) 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) c) ) ( 7 6 ( ) ± ± 9 d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ± 4 ± No vale. Pág. 6 Ejercicio resuelto Resolver la ecuación 7. Dejamos solo el radical en el primer miembro y elevamos al cuadrado los dos miembros: Después de resolver esta ecuación, es necesario comprobar las soluciones en la ecuación dada. Solo uno de los valores que has obtenido es solución de la ecuación.

22 ± ± 5 Comprobación: : 7? No vale. : 7 () 4 Sí vale. La solución es. Pág. 69 Resuelve como en el ejercicio anterior: a) 7 b) 5 0 c) 7 d) ± 4 ± /6 / Comprobación: : 7 4 es solución. 64 : 7 4? 9 9 no es solución. a) ( ) ( ) ± 9 4 ± Comprobación: : 5 0 es solución. : 5 0 es solución. La ecuación tiene dos soluciones, y. b) 0 ( ) ( ) ± 4 6 ± 5 Comprobación: : 7 es solución. : 7? no es solución. c) ( ) ( )

23 d) ( ) ( ) 4 ± ± 0 Comprobación: : es la solución. Pág. 70 Ejercicio resuelto Un depósito de agua para riego tiene un grifo de abastecimiento y un desagüe. El grifo llena el depósito en 9 horas. Si además del grifo se abre el desagüe, el depósito tarda 6 horas en llenarse. Averiguar cuánto tarda el desagüe en vaciar el depósito lleno, estando cerrado el grifo. El grifo llena, en hora, del depósito. 9 El desagüe vacía, en hora, del depósito. Abriendo los dos, llenan en hora del depósito. 6 Por tanto: 9 6 Resuelve la ecuación y di cuál es la solución ( 9 ) 6 6 El desagüe tarda horas en vaciar el depósito. 7 Dos grifos llenan un depósito en horas si se abren a la vez. Si solo se abre uno de ellos, tardaría 5 horas en llenar el depósito. Cuánto tardará el otro grifo en llenar el depósito en solitario? Los dos grifos juntos, en hora, llenan del depósito. Uno de los grifos llena, en hora, del depósito. 5 El otro grifo, en hora, llena del depósito. 5 7,5 h 5 5 El otro grifo tarda 7 horas y media en llenar el depósito.

24 7 Un grifo tarda el doble que otro en llenar un depósito. Abriendo los dos a la vez tardan horas en llenar dicho depósito. Cuánto tardará cada uno de ellos en llenarlo? Un grifo llena, en h, del depósito, y el otro grifo llena, en h, del depósito. Los dos juntos, en hora, llenan. 4 h Uno de los grifos tarda h, y el otro, 4 horas en llenar el depósito. Pág. 4 7 Un pintor tarda horas más que otro en pintar una pared. Trabajando juntos pintarían la misma pared en horas. Calcula cuánto tarda cada uno en hacer el mismo trabajo en solitario. Un pintor, en hora, pinta de la pared. El otro pintor, en hora, pinta de la pared. Entre los dos, en hora, pintan de la pared. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± 4 6 ± 5 No vale. Uno tarda h y el otro tarda 6 horas en hacer el trabajo en solitario.

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