TEMA 4: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES


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1 TEMA : PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES.1Razones y proporciones Página 90 ejercicio 1 Elige la respuesta correcta en cada caso: a) La razón de 5 y15 es: 1 2, 1 3, Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1. Tareas : 2 Página 90 ejercicio 3 Calcula el término desconocido en cada proporción. f) x x x 2 2 Tareas : todos los ejercicios que faltan del 3. Tareas : Magnitudes directamente proporcionales Página 91 ejercicio 1 Resuelve mentalmente: a) Un grifo arroja 12 litros de agua en 3 minutos. Cuánto arroja en 5 minutos? UNA FORMA DE HACERLO 12 3 litros de agua cada minuto En cinco minutos será 5 20 litros OTRA FORMA DE HACERLO tiempo (min) litros x Método de reducción a la unidad x 3 x 12 5 x Tareas : todos los ejercicios que faltan del Página 91 ejercicio 2 Cuánto pagaré por 300 gramos de un salmón ahumado que se vende a 16 euros el kilo? peso (gramos) euros 300 x 0 16 x Tareas : x x. 8 euros nos costará Página 93 ejercicio Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora. Cuánto tardará en llenar 0 botellas? nº de botellas tiempo (min) x x Tareas :5,6 Página 93 ejercicio x x minutos tardará. 1

2 En un colegio que tiene 80 alumnos, tres de cada diez han tenido gripe. Cuántos alumnos han padecido la gripe? alumnos griposos 80 x alumnos griposos. Tareas : 8, x x x Página 93 ejercicio 10 Obtén la constante de proporcionalidad y los valores de x e y en esta tabla de proporcionalidad directa: x y Se cumple que: Entonces la constante de proporcionalidad es k 0. De ahi que podamos encontrar los valores desconocidos de la forma siguiiente: x y Tareas : 11.3 Magnitudes inversamente proporcionales Página 95 ejercicio 1 Completa en tu cuaderno estas tablas: Magnitud A Magnitud B Se cumple siempre que en cada columna al multiplicar nos da 30. Es decir, Magnitud AMagnitud B Tareas : la otra tabla. Tareas : 2 Página 95 ejercicio 3 Un coche, a 80 km/h, tarda 2 h en llegar a Barcelona. Cuántos tardaría en llegar un camión, a 0 km/h? Y un bólido, a 160km/h? Se cumple con el coche que Entonces será horas lo que tarda el camión. Claramente si va a la mitad de velocidad, tardará el doble de tiempo Mientras que hora tardará el bólido. Claramente si va al doble de velocidad, tardará la mitad de tiempo. Tareas : 5, Página 95 ejercicio 6 Un tractor ara un campo en 15 horas. a) Cuánto tardarán dos tractores? Se cumple que Entonces será horas tardarán dos tractores. Claramente el doble de tractores reducirán el tiempo a la mitad. b) Y tres tractores? Entonces será horas tardarán tres tractores. Claramente el triple de tractores reducirán el tiempo a la tercera parte. 2

3 c) Y cuatro tractores? Entonces será horas tardarán cuatro tractores. Claramente el cuádruple de tractores reducirán el tiempo a la cuarta parte. Tareas : 7. Problemas de proporcionalidad compuesta Página 97 ejercicio 1 Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 horas al día, ha construido 600 m 2 en 18 días. Cuántos metros cuadrados construirán en 15 días trabajando 8 horas diarias? Consideramos la tabla siguiente: horas días m x OBSERVA QUE DEJAMOS EN LA ÚLTIMA COLUMNA LA INCÓGNITA!!! Se dan las siguientes relaciones entre las variables de izquierda a derecha: Entre horas y días hay proporcionalidad directa: si disminuye una disminuye la otra Entre días y m 2 hay proporcionalidad directa: si disminuye una disminuye la otra OBSERVA QUE HEMOS RELACIONADO PRIMERA COLUMNA CON SEGUNDA, Y LUEGO SEGUNDA COLUMNA CON TERCERA!!! x x Se han construido 00 m 2 Tareas : repasar los ejercicios 2,3, de la página Los porcentajes Página Calcula mentalmente. a) 20% de i) 2% de Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 2 Calcula mentalmente. a) 50% de 6mitad de 6 23 f) 75% de 2tres cuartos de Tareas : todos los ejercicios que faltan del 2 3 Calcula a) 12% de 750 i) 200% de 10 Otra forma % de 10doble de Tareas : todos los ejercicios que faltan del 3 Tareas : 5 El 62% de los cargos directivos de una empresa metalúrgica son varones. Qué porcentaje son mujeres? % son mujeres Se interpreta que de los cargos que hay 62 son varones, por lo que el resto serán hembras. Tareas :6,7 3

4 8 En una aldea de 875 habitantes solo queda un 12% de jóvenes. Cuántos jóvenes viven en la aldea? 12% de Quedan 105 jóvenes. Tareas :9,10 11 Un avión transporta 25 viajeros. El 52% son europeos; el 28%, americanos; el 12%, africanos, y el resto asiáticos. Cuál es el porcentaje de asiáticos? Cuántos asiáticos viajan en el avión? % de asiáticos. 8% de son asiáticos..6 Problemas con porcentajes. Página Calcula x como en el ejemplo: a) 50% de x 20 x 0, 5 20 x h) 13% de x 7. 5 x 0, x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1. 2 Calcula, mentalmente, el valor de x: a) 50% de x 80 El 50% de una cantidad es la mitad de esa cantidad por lo que x 160 Otra forma de hacerlo x x j) x% de x x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 2. 3 Resuelve cada apartado: a) En un rebaño de 175 ovejas, el 8% son negras. Cuántas ovejas negras tiene el rebaño? 8% de ovejas son negra. b) En un rebaño hay 1 ovejas negras, lo que supone el 8% del total. Cuántas ovejas tiene en total el rebaño? Podemos considerar la siguiente tabla: ovejas porcentaje 1 8% x % 1 x 8 x 1 8 Tenemos 175 ovejas Otra forma de hacerlo Se trata de una proporcionalidad directa % de x ovejas es x 1 x Tenemos 175 ovejas c) En un rebaño que tiene 175 ovejas, 1 son negras. Cuál es el porcentaje de negras? Sería el 8% Tareas : los ejercicios,5.6,7

5 8 Una falda, rebajada un 15%, ha costado euros. Cuánto costaba sin rebaja? Podemos considerar la siguiente tabla: precio sin rebaja precio rebajado x porcentaje Se trata de una proporcionalidad directa: x x La falda costaba 3 euros Tareas : 9,10,12 11 De las 2 solicitudes de trabajo que ha recibido una empresa, ha aceptado 21. Qué porcentaje ha sido rechazado? Se han rechazado solicitudes El porcentaje será: %.7 Interés bancario PÁGINA Un banco ofrece un beneficio anual del 5%. a) Qué beneficio producen euros en años? Tenemos la tabla siguiente: capital tiempo interés 1 5 I 1 5 I I 5 1 Obtendríamos 20 euros de beneficios. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 Tareas :2 3 Qué interés debo pagar por un préstamo de 3000 euros al 8% que devuelvo la cabo de 2 años? Tenemos la tabla siguiente: capital tiempo interés I I Serían 80 euros I EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 1. Escribe: c) Tres parejas de números que estén en razón de tres a cuatro. 6 y 8 pues así estarán en razón de tres a cuatro. 9 y12 pues y 16 pues Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 2 Calcula x en las siguientes proporciones a) x x l) x x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 2 5

6 3 Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que guardan relación de proporcionalidad directa, los que guardan relación de proporcionalidad inversa y los que no guardan relación de proporcionalidad. a) El número de kilos vendidos y el dinero recaudado. Proporcionalidad directa pues cuántos más kilos se vendan más dinero recaudarás. b) El número de operarios que hacen un trabajo y el tiempo invertido. Proporcionalidad inversa, pues cuánta más gente trabaje menos tiempo tardarán en hacer el mismo trabajo. c) La edad de una persona y su altura. No guardan relación de proporcionalidad. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 3 Completa en tu cuaderno estas tablas de proporcionalidad directa. a) Basta con multiplicar el número de la primera fila por cinco para obtener el correspondiente de la segunda fila. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 5 Completa en tu cuaderno estas tablas de proporcionalidad inversa. a) En cada columna el producto de los dos números ha de ser 20. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 5 Tareas : 6,7 8 Calcula mentalmente y contesta: a) Un tren recorre 20 km en 3 horas. Qué distancia recorre en 2 horas? En una hora recorre km En dos horas recorrerá km. b) Dos kilos de manzanas cuestan 1.80 euros. Cuánto cuestan tres kilos? Un kilo cuesta euros Tres kilos costarán euros Tareas : todos los ejercicios que faltan del 8 9 Dos kilos y medio de patatas cuestan 1.75 euros. Cuánto cuestan tres kilos y medio? ARITZ: euros cuesta un medio kilo euros cuestan los tres kilos y medio. Ojo: SELENA: dos kilos y medio son cinco medios kilos tres kilos y medio son siete medios kilos PESO (kilos) PRECIO (euros) x Como son magnitudes directamente proporcionales será: x x euros costarán los tres kilos y medio Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. Cuánto tardarían cinco operarios? operarios tiempo (horas) 10 5 x 6

7 Como son magnitudes inversamente proporcionales será: 5 10 x x horas tardarían. Otra forma: 10 5 x x horas tardarían Tareas :11,12,13,1,15,16 17 Un tractor, trabajando ocho horas diarias, labra un campo en nueve días. Cuántas horas diarias debe trabajar para realizar el trabajo en sólo seis días? horas diarias días 8 9 x 6 Como son magnitudes inversamente proporcionales será: 8 9 x 6 x horas diarias ha de trabajar. 18 Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 65 vacas durante 32 días. Cuánto le durarán las provisiones si compra 15 vacas más? vacas días x Como son magnitudes inversamente proporcionales será: x x días comerán las 80 vacas 80 Tareas : 19,20,21,22 23 A 90 km/h, se tardan 20 minutos en ir de la población A a la población B. Cuánto tardaría un camión a 60 km/h? Y una furgoneta a 80km/h? Lo primero es convertir 20 minutos en horas: Es decir, 20 minutos es un tercio de hora. velocidad (km/h) tiempo (horas) x 80 y Como las magnitudes son inversamente proporcionales será: x x hora se tardaría y y hora se tardaría 8 25 Un ciclista ha recorrido 25 km en hora y cuarto. A esa velocidad, Cuánto tardaría en recorrer una etapa de 6 km? una hora y cuarto son 75 minutos Tenemos la tabla: tiempo (minutos) espacio recorrido (km) x 6 Como la velocidad es siempre la misma, si hay más espacio tendremos que estar más tiempo, por lo que son magnitudes directamente proporcionales. 75 x 25 x minutos tardará Cincuenta terneros consumen 200 kilos de alfalfa a la semana. a) cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día? Para saber cuánto se consume en un día hacemos kilos de alfalfa se consumen en un día por los cincuenta terneros. 7

8 kilos de alfalfa consume un sólo ternero. b) Cuántos kilos de alfalfa se necesitan para alimentar 20 terneros durante 15 días? kilos de alfalfa consumen los terneros en un día kilos de alfalfa se consumirán en los 15 días c) Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de 600 kilos de alfalfa? kilos de alfalfa consumen los 10 terneros en un día días estarán comiendo esos 10 terneros. Tareas : Una alfombra sintética, de 1.80 m de largo por 90 cm de ancho ha costado 72 euros. Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3 m de largo por 1.20 m de ancho? Vamos a trabajar en cm: 1.80 m son 180 cm 3 m son 300 cm 1.20 m son 120 cm La superficie de la primer alfombra es c m 2 Un c m 2 de la primera alfombra costará euros La superficie de la segunda alfombra será La segunda alfombra costará euros. 225 Tareas : Calcula mentalmente: e) 75% de Pues dentro de mi cerebro, 75% son 3, por lo que hago cuatro trozos de 800 y me quedo con tres. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 33 3 Obtén mentalmene el valor de x en cada caso. e) 75% de x Pues dentro de mi cerebro, 75% son 3, por lo que hago cuatro trozos de x y me quedo con tres que son 150. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 3 35 Fijate en el ejemplo, y después, calcula mentalmente: 10% de % de % de f) 30% de Tareas : todos los ejercicios que faltan del Obtén, mentalmente, el valor de x en cada caso: f) 5% de x 2 Sabemos que 5 por 20 es por lo tanto 2 por 20 será 0: x 0 Tareas : todos los ejercicios que faltan del Calcula: h) 1.7% de Tareas : todos los ejercicios que faltan del Qué fracción irreducible asocias a cada uno de estos porcentajes? h) 70% fracción irreducible. Tareas : todos los ejercicios que faltan del 38 Tareas : Calcula como se hace en el ejemplo. 15% de d) 6% de Tareas : todos los ejercicios que faltan del 0. 8

9 1 Calcula x como en el ejemplo. 15% de x x 2 x d) 7% de x x x Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1. Tareas : 2. 3 Un empleado gana 1700 euros al mes y gasta el 0% en pagar la hipoteca de su casa. Cuánto le queda para afrontar el resto de sus gastos? 0% de euros gasta en la hipoteca euros tiene para el resto de sus gastos. Otra forma de hacerlo -0 60% se gasta en el resto 60% de euros tiene para el resto de sus gastos. Tareas : Tareas : 5, 6 Un jugador de baloncesto ha efectuado 25 lanzamientos a canasta y ha conseguido 16 encestes. Cuál es su porcentaje de acierto? % de acierto 25 Tareas : 7, 8 Un embalse está al final del verano al 23% de su capacidad. Si en este momento contiene 35 decámetros cúbicos de agua, Cuál es la capacidad total del embalse? Tenemos la tabla siguiente: decámetros cúbicos porcentaje x Como las magnitudes son directamente proporcionales: 35 x 23 x decámetros cúbicos es la capacidad del embalse. 23 Tareas : 9,50 51 Un depósito de agua está al 93% de su capacidad. Si se añaden 1000 litros, quedará completo. Cuál es la capacidad del depósito? Será 93 7% es el porcentaje que le falta al embalse para estar lleno. Tenemos la tabla siguiente: litros porcentaje x Como las magnitudes son directamente proporcionales: 1000 x 7 x litros entran en el embalse. 7 Tareas :52 53 Una tarta que pesa un kilo y ochocientos gramos lleva un 10% de agua, un 8% de proteínas, el doble de grasa y el resto de hidratos de carbono. Cuántos gramos de hidratos de carbono hay en la tarta? Tenemos la tabla: agua 10 proteínas 8 grasa 16 hidratos de carbono 66 % kg % de hidratos de carbono 66% de kg son hidratos de carbono. 9

10 Tareas :55, 56, 57 5 Hace cinco años compré un piso por euros. En ese tiempo la vivienda ha subido un 37%. Cuánto vale ahora mi piso? Mi casa vale ahora el 37% 137% Hemos de calcular el 137% de euros es el valor actual de mi vivienda. 10

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